Рассмотрим пару симметрических двойственных задач
Любую задачу ЛП в стандартной форме (I) с экономической точки зрения можно рассматривать как задачу о распределении ограниченных ресурсов
между n технологическими процессами.
Рассмотрим одну из возможных содержательных постановок задачи (I).
Пусть из ресурсов m разных видов изготавливается
n видов продукции. Пусть 
- объем имеющегося в наличии
ресурса, i=1,...,m;
- объем
производимого j-го продукта j=1,...,n;
- объем
расхода i-го ресурса на единицу j-го вида
продукции, i=1,...,m, j=1,...,n;
- прибыль,
ожидаемая от реализации единицы j-го вида
продукции j=1,...,n.
На поставленной модели ставится задача: найти план выпуска продукции, который обеспечивал бы максимум дохода.
Для проведения содержательной интерпретации двойственной задачи (II) свяжем переменные двойственной задачи
Пусть L* - максимальное значение дохода в задаче
(I). Если запасы ресурсов , i=1,...,m изменить, то может
измениться и максимальный доход L*. Это означает,
что L* является функцией от ресурсов , i=1,...,m, т.е.
Рассмотрим отношение приращения дохода 
к приращению i-го
ресурса 
;
Тогда по определению частной производной функции
Но по первой теореме двойственности оптимальное значение целевой функции прямой задачи совпадает с оптимальным значением целевой функции двойственной задачи
Таким образом, оптимальное значение
двойственной переменной
числено равно
дополнительному доходу при увеличении i-го
ресурса на единицу, если величина 
является
достаточно малой по сравнению с величиной 
Полученный вывод
имеет очень важное практическое применение.
Пусть L*- максимальное значение дохода в задаче (I),
Тогда, изменяя i-й ресурс на единицу, получим новое значение максимального дохода по формуле
или более общий вид
Двойственные переменные
называются оценками (теневыми ценами, ценностями) соответствующих ресурсов i=1,..., m, и характеризуют меру эффективности использования соответствующих ресурсов.
Рассмотрим j-е ограничение задачи (II)
Вектор
является j-м столбцом матрицы А и характеризует технологический процесс производства j-й продукции, а именно,
- это количество i-го ресурса
i=1,..., m, необходимого для производства единицы j-й
продукции.
Поскольку
- оценка
единицы i-го ресурса, i=1,..., m, то сумма
необходимых для производства единицы j-й продукции. Так как
- прибыль от реализации единицы
j-й продукции, то разность
характеризующая j- ограничение задачи (II), будет представлять собой приведенные издержки j-й продукции. Приведенные издержки характеризуют экономическую эффективность производства j-й продукции. Если приведенные издержки равны нулю, то производство j-й продукции эффективно, при ненулевых издержках
производство j-й продукции убыточно.
Рассмотрим экономическую интерпретацию основного неравенства двойственности. Так как
- прибыль от реализации единицы
продукции, а
- количество произведенной j-й
продукции, то
характеризует суммарную прибыль от реализации произведенной
продукции. Так
как 
-
количество i-го ресурса, а
- ценность единицы ресурса, то
характеризует суммарную ценность всех ресурсов. Тогда из соотношения
следует, что до тех пор, пока прибыль меньше суммарной ценности ресурсов, решение остается оптимальным. Как только
т.е. прибыль становится равной суммарной ценности ресурсов, то решения х* и у* пары двойственных задач становятся оптимальными.
Большой практический интерес представляет экономическая интерпретация второй теоремы двойственности, а также ее следствия о дополняющей нежесткости.
1. Если суммарная оценка 
i-го ресурса положительна
то этот ресурс в соответствии с оптимальным планом х* используется полностью
2. Если i-й ресурс используется не полностью
то его
оптимальная оценка нулевая 
и i-е ограничение несущественно.
3. Если в соответствии с оптимальным планом х* j-я продукция производится
то это производство эффективно, так как цена единицы j-й продукции
равна затратам на ее производство в единицах
4. Если производство j-й продукции убыточно (приведенные издержки ненулевые
то в соответствии с оптимальным планом эта продукция не производится
Анализ модели на чувствительность связан с исследованием возможных изменений полученного оптимального решения в результате изменений исходной модели.
Пусть в исходной модели изменяются ресурсы
Возникает два вопроса.
1. Какие изменения ресурсов не влияют на оптимальный план х* ?
2. Запасы каких ресурсов необходимо увеличивать в первую очередь для получения максимальной дополнительной прибыли ?
Ответ на первый вопрос. Если оценка i-го ресурса
то этот ресурс не является существенным и вполне возможно его уменьшение на величину
Причем это уменьшение не повлияет на оптимальность плана х*.
Ответ на второй вопрос. Чем больше оценка i-го ресурса
тем существеннее вклад i-го ресурса в функцию максимального дохода L* и тем выше приоритет соответствующих видов ресурсов при решении вопроса распределении дополнительных затрат по видан ресурсов.
Пусть изменяются коэффициенты в ограничениях
Эти изменения связаны с изменением потребления ресурсов в производственно-технологических процессах. Аналогично тому, как это делается при установлении приоритетности ресурсов, двойственные оценки используются и при решении вопроса о том, совершенствование какого участка производства является первоочередным. Чтобы сделать производство j-й продукции более прибыльным, необходимо снизить соответствующую ему суммарную ценность ресурсов
При этом главное
внимание уделяется уменьшению величины 
соответствующей
наибольшей двойственной оценке 
Технический
аспект, связанный с уменьшением величины 
определяется
внутренними характеристиками системы.
8. ИГРОВОЙ ПОДХОД К ДВОЙСТВЕННОСТИ
Теория игр изучает математические модели конфликтных ситуаций. Частная задача теории игр - матричная игра двух лиц, интересы которых противоположны.
Опишем кратко такие игры.
Пусть задана произвольная матрица
Лица, принимающие участие в игре, называются игроками. Каждый из игроков располагает некоторым множеством согласованных с правилами игры способов поведения. Эти способы поведения называются стратегиями. Одноразовая реализация состоит в том, что первый игрок выбирает i-ю стратегию (i-ю строку матрицы), а второй игрок - j-ю стратегию (j-й столбец матрицы А), при этом выбор производится независимо друг от друга.
Это соответствует тому, что игроки располагают конечным числом стратегий : первый располагает m стратегиями, а второй игрок - n стратегиями. Число
на пересечении i-й строки и j-го столбца матрицы А является выигрышем первого игрока (точнее платой второго игрока первому), если первый игрок выбирает i-ю стратегию, а второй j-ю стратегию. В силу этого матрица А называется платежной матрицей А или платежной функцией
Обобщим понятия стратегий до понятия смешанных стратегий
интерпретируемых следующим образом :
- вероятность выбора первым
игроком i-й стратегии (чистой стратегии),
- вероятность выбора вторым
игроком j-й стратегии (чистой стратегии). В
предположении независимости случайного выбора
игроками чистых стратегий математической
ожидание выигрыша для первого игрока будет равно
Пусть M и N множества слагаемых стратегии первого игрока и второго игрока и пусть в основе решающего правила игры лежит принцип гарантированного результата, что соответствует безазартному, осторожному подходу, нацеленному на обеспечение пусть минимального, но гарантированного выигрыша. К нему можно прийти на основе следующего рассуждения. Если первый игрок зафиксирует свою стратегию х, то он может себе гарантировать выигрыш в размере
Но так как выбор стратегии х в руках первого игрока, то он может себе обеспечить выигрыш
Аналогичные рассуждения со стороны второго игрока (с его функцией выигрыша F(x,y)) дают результат
называются оптимальными (равновесными) стратегиями, а F0- ценой игры.
Рассмотрим задачу ЛП в стандартной форме
Содержательно эта модель характеризует производство продукции
Рассмотрим рынок, который выполняет функции реализации продукции производства, реализации излишек тех или иных ресурсов и закупок недостающих ресурсов. При этом продажа продукции осуществляется по фиксированным ценам
а продажа и закупка ресурсов по ценам рынка
устанавливающимся на основе конкурентного взаимодействия двух сторон - Производства и Рынка. Эти две стороны рассматриваются в роли двух игроков : Производство - первый игрок, Рынок - второй игрок. Стратегии игрока
а стратегии второго игрока
В качестве платежной функции выступает функция Лагранжа
которая выражает итоговый доход от реализации продукции, продажа излишек и закупка недостающих ресурсов. Функция дохода Производства L(x,y) - это в то же время и функция издержек Рынка.
Если отыскание оптимальных стратегий Производство и Рынка подчинить принципу гарантированного результата, то получим две задачи
Если пара (х*,у*) удовлетворяет условию
то х* - оптимальная стратегия Производства, у* - оптимальная стратегия Рынка.
Теорема
Игра Производство - Рынок эквивалентна паре симметрических двойственных задач ЛП.
Доказательство.
Докажем эквивалентность задачи (I) задаче
При этом, если
такая пара векторов, что L(х*,у*)=L*, то х*- оптимален для задачи (I), и обратно : если х* - оптимален в задаче (I), то существует
такой, что L(х*,у*)=L*.
Докажем эквивалентность задачи (II) задаче
Преобразуем функцию Лагранжа
При этом если пара векторов
такая, что L(х*,у*)=L*, то у* - оптимален в задаче (II), задачи (II), и обратно : если у* - оптимален в задаче (II), то существует
такой, что L(х*,у*)=L*.
Теорема доказана
Вывод.
Двойственная задача ЛП может быть построена в рамках игровой модели Производство-Рынок и двойственная задача выступает как задача построения равновесных цен Рынка.
