При этом проводится исследование как отдельных элементов системы так и всей системы в
целом.Обязательным элементом при проведении современных системных исследований является использование вычислительной техники.
Результатом системных исследований является принятие конкретных решений, обеспечивающих оптимальное функционирование системы, выдача рекомендаций для эффективного использования полученных результатов на практике.
Так в технической системе результатами могут быть конкретные параметры модулируемой конструкции. В экономической системе могут быть получены рекомендации по перспективному планированию производства. В экологической системе - план экологических мероприятий.
Так как результат работы системного анализа - принятие решения, то истоки естественно искать в дисциплинах, занимающихся проблемами принятия решения.
Основными источниками задач и составными частями системного анализа являются исследование операций и теория автоматического управления.
Исследование операций сравнительно молодая наука, возникла в Англии в начале второй мировой войны. Для ведения боевых действий были приглашены инженеры, математики, ученые, которые должны были на основе строгих математических расчетов выдавать практические рекомендации для ведения боевых операций. Это направление научных исследований и получило название исследование операций. По мере накопления научных знаний исследование операций распространилось далеко за пределы военных приложений, и в настоящее время применяется во всех областях научной и практической деятельности, где только возникают проблемы принятия решений.
При этом следует заметить, что исследование операций как наука возникает только тогда, когда для исследования проблемы принятия решений используются математические методы. Так для принятия решения в бытовых ситуациях (брать или не брать зонтик, выходя на улицу в солнечный летний день) нам вовсе не обязательно руководствоваться строгими математическими расчетами, достаточно принять решение на основе здравого смысла.
Теория автоматического управления также как и исследование операций занимается проблемами принятия решения, но если задачи исследования операций - это, как правило, задачи статистики, то в теории автоматического управления исследуются задачи динамики. Классической задачей теории автоматического управления является задача проектирования конструкций автопилота : выбрать начальные параметры так , чтобы траектория самолета прошла через цель. Любопытно, что, хотя динамические задачи гораздо сложнее формулируются и решаются, теория автоматического управления возникла на столетие раньше исследования операций в связи с возникновением проблемы управления паровой машиной : обеспечение постоянства оборотов вала при изменяющейся внешней нагрузке.
Методы исследования операций являются основными в системном анализе, и основные принципы анализа систем являются по существу развитием идеи теории исследования операций.
1.2. Системный анализ и моделирование Задача исследования операций или задача управления могут быть решены в том только случае, когда может быть построена модель системы и поставлена цель. Обычно различают физическое моделирование и математическое моделирование.При физическом моделировании модель воспроизводит изучаемый процесс с сохранением его физической природы. Преимущества физического моделирования перед натурным экспериментом состоит в том, что условия реализации процесса-модели выбираются исходя из удобства и простоты исследования, единственное требование при этом - сохранение соотношений подобия.
Математическое моделирование - это способ исследования различных процессов путем изучения явлений, имеющих различное физическое содержание, но описываемых одинаковыми математическими соотношениями.
Математическая модель - является абстрактным формально описанным объектом, изучение которого возможно математическими методами.
Исходя из способа дальнейшего использования математической модели для изучения системы, модели делят на аналитические и имитационные.
В аналитических моделях процессы записываются в виде функциональных соотношений и логических условий.
В имитационных моделях вместо аналитической формы записи исследуемого процесса используется алгоритмическое описание
.Обычно способ исследования выбирается после того, как математическая модель реального объекта уже построена.
При построении модели (как математической так и физической) можно выделить следующие основные этапы.
1. Постановка цели моделирования. определение набора четко сформулированных согласованных и реализуемых целей - существенное условие успешного моделирования.
2. Анализ реальной системы, процесса или явления с целью формирования модели. Для анализа система разбивается на составляющие части (реальные и воображаемые), которые ограничиваются от окружающих факторов.
При этом ограниченная система должна обладать всеми свойствами, присущими ей в реальной действительности. Кроме того, система, составленная из совокупности составляющих ее частей, должна представлять единое целое.
3. Структуризация и построение модели. При физическом моделировании это может быть макет моделируемой системы. При имитационном моделировании это будет моделирующий алгоритм. Аналитическая модель будет записана в виде математических соотношений.
4. Верификация модели состоит в проведении исследования с помощью отладочных и проверочных тестов, предназначенных для выявления ошибок в структуре модели. Верификация может закончиться неудачно даже и в случаях правильной ее структуризации. В этом случае говорят об ошибке 1-го рода (отбрасывается приемлемый вариант). Возможны ошибки 2-го рода, когда принимается ошибочный вариант. Любые ошибки, выявленные на этом этапе верификации приводят к возвращению на этап структуризации.
5. Оценка пригодности модели проводится сравнением откликов проверенной модели с соответствующими откликами или изменениями, снятыми с реальной системы. Это значит, что эксперементирование может проводится как с моделью, так и с моделируемой системой. Если реальная система недоступна для экспериментирования, то обращаются к неформальным приемам, используют известные характеристики. Расхождения откликов модели и реальной системы свидетельствуют об ошибках на стадии анализа, т.е. необходимо вернуться к просмотру результатов 2-го этапа.
6. Планирование эксперимента. На проверенной модели возможна постановка экспериментов для получения новой информации о моделируемой системе.
7. Обработка результатов эксперимента, формирование на основе выводов и оформление соответствующей документации на прием модели пользователем.
Основными объектами исследования операций являются аналитические математические модели (в дальнейшем просто математические модели). При этом необходимо отметить, что построение математической модели изучаемого процесса или явления не означает еще, что построена задача исследования операций. С помощью одной модели можно исследовать, изучать разные операции. Только постановка и формализация цели операции, в результате которой формулируется оптимизационная задача, однозначно определяет задачу исследования операций.
Построение математической модели - это искусство, поэтому нет строгого алгоритма, который был бы пригоден для построения любой модели. Можно лишь выделить ключевые моменты этого построения.
1. Составление математической модели начинается с выбора переменных, совокупность числовых значений которых однозначно определяет один из вариантов процесса. Эти переменные называются параметрами задачи или элементами решения. Следует иметь в виду, что иной раз от удачного выбора этих переменных зависит простота модели и , следовательно, удобство дальнейшего анализа.
2. После выбора переменных составляются ограничения,которым должны удовлетворять эти переменные. При этом нужно следить, чтобы в модель были включены все ограничительные условия, и в то же время, чтобы не было ни одного лишнего или записанного в более жесткой, чем требуется условиями задачи, форме.
3. Составляется целевая функция, которая в математической форме, отражает критерий эффективности выбора лучшего варианта, другими словами, ставится цель операции на модели, полученной во втором пункте.
Классификация математических моделей может проводиться с различных точек зрения. В зависимости от этого получаются различные типы моделей.
1. Если в основе классификации лежат соотношения, которые выражают зависимости между состояниями системы и параметрами системы, то выделяют
а) детерминированные модели - состояние системы в заданный момент времени однозначно определяется через параметры системы.
b) стохастические модели - однозначно определяются лишь распределения вероятностей для состояний системы при заданных распределениях вероятностей для начальных условий.
2. Если параметры задачи принимают дискретные значения (причем дискретность может быть любой природы : от целочисленного значения до произвольного набора значений), то говорят о дискретной модели. Непрерывная модель в случае непрерывных значений параметров задачи.
3. Одноэкстремальной моделью называется математическая модель задачи, имеющей один критерий эффективности. Если задача исследования операций имеет несколько критериев эффективности, то соответствующая модель называется многоэкстремальной моделью.
4. Задачей линейного программирования называется математическая модель, в которой функция и ограничения выражаются линейными функциональными зависимостями. Если среди функциональных зависимостей есть хотя бы одна нелинейная, то математическая модель будет задачей нелинейного программирования. Если функциональные зависимости - выпуклые функции, то имеет место задача выпуклого программирования. Если целевая функция является квадратичной функцией, а ограничения - линейные функции то получается задача квадратичного программирования.
Задача о диете.
При имеющем наборе N продуктов известной стоимости необходимо составить пищевой рацион так, чтобы обеспечить заданное содержание белков, жиров и углеводов при минимальной суммарной стоимости.
Пусть единица i-го продукта содержит ai1 единиц белков, ai2 единиц углеводов и ai3 единиц жиров.
Обозначим через сi, i=1,...,N стоимость единицы i-го продукта ; b1,b2,b3 единиц-заданное содержание белков, жиров и углеводов в пищевом рационе.
Запишем сформулированные условия задачи в виде математических формул.
1. Выберем переменные задачи :
х1,х2,...,хN - количества продуктов, входящих в рацион.
2. Составим ограничения задачи, которые по условию задачи должны обеспечивать содержание белков, жиров и углеводов в количествах b1,b2,b3 соответственно.
Так как в одной единице продукта содержится ai1 единиц белков, то в хi единицах i-го продукта содержится ai1*хi, белков. Значит общее количество белков в рационе будет равно сумме
a11*х1 +a21*х2+...+ aN1*хN,
а условие-неравенство для белков будет иметь вид
a11*х1 +a21*х2+...+ aN1*хN > b1
Записывая аналогичные условия для жиров и углеводов, получим, включая предыдущее, три условия
a11*х1 +a21*х2+...+ aN1*хN > b1
a12*х1 +a22*х2+...+ aN2*хN > b2
a13*х1 +a23*х2+...+ aN3*хN > b3
Нельзя забывать очевидно вытекающее из условий задачи ограничения :
x 1 >0,x 2 >0,...,x N >0.
Эти ограничения означают, что отрицательное количество продукта хi не имеет содержательного смысла.
3. Составим целевую функцию. Так как общая стоимость рациона будет
L=c1*х1 +c2*х2+...+ cN*хN,
то необходимо минимизировать линейную функцию L.
Итак, математическая модель рассмотренной задачи о диете имеет вид :
минимизировать L=c1*х1 +c2*х2+...+ cN*хN
при условиях
a11*х1 +a21*х2+...+ aN1*хN > b1
a12*х1 +a22*х2+...+ aN2*хN > b2
a13*х1 +a23*х2+...+ aN3*хN > b3
x 1 >0,x 2 >0,...,x N >0.
или в математическом виде
C * X min,
A * X > B ,
X >0 .
Задача ЛП заключается в отыскании вектора X=(x1,...,x n), минимизирующего (максимизирующего) линейную целевую функцию L = c1 * x1+...+c n * x n, (1) переменные которой подчинены линейным ограничением
a 11 * x1 +...+ a 1 n * x n<b1,
.............................................. (2)
a s1 * x1 +...+ a s n * x n<b s,
a s+1 1 *x1 +...+a s+1 n *x n>b s+1,
................................................. (3)
a s + t 1 *x1 +...+a s + t n *x n>b s + t,
x1>0,...,x k>0,k<0 (4)
Задача (1 )-(4) называется задачей ЛП в произвольной форме записи или общей задачей ЛП.
Точка (вектор) X=(x1,...,x n),координаты которой удовлетворяют условиям (2)-(4), называется допустимым решением (точкой, вектором) задачи ЛП или планом.
Множество допустимых решений называется областью определения
(допустимой областью) задачи ЛП.
Допустимое решение, на котором целевая функция (1) обращается
в минимум (максимум), называется оптимальным решением (оптимальным планом).
Для численного решения задач ЛП требуется предварительно приводить их к каноническому виду
L = c1 * x1+...+c n * x n min( max ),
a 11 * x1 +...+ a 1 n * x n= b1,
................................................
a m1 * x1 +...+ a m n *x n =b m,
x1>0,...,x n>0
Каноническая задача ЛП(КЗЛП) характеризуется следующими тремя признаками:
1) однородная система ограничений в виде системы уравнений;
2) однородные условия неотрицательности, распространяющиеся на
все переменные, участвующие в задаче;
3) минимизация линейной функции.
Стандартной задачей ЛП называется задача вида (I)
L = c1 * x1+...+c n * x n min( max ),
a 11 * x1 +...+ a 1 n * x n< b1,
................................................
a m1 * x1 +...+ a m n *x n <b m,
x1>0,...,x n>0
или задача вида (II)
L = c1 * x1+...+c n * x n min( max ),
a 11 * x1 +...+ a 1 n * x n> b1,
................................................
a m1 * x1 +...+ a m n *x n >b m,
x1>0,...,x n>0
Две задачи математического программирования
называются эквивалентными, если любому допустимому решению
Для всякой задачи ЛП существует эквивалентная ей КЗЛП.
Доказательство.
Не ограничивая общности рассмотрим общую задачу ЛП с двумя переменными и тремя линейными ограничениями
L1=c1 * x1 + c2 * x2 max,
a 11 *x1 + a12*x2<b1,
(I) a 21 *x1 + a22*x2>b2,
a 31 *x1 + a32*x2=b3,
x1>0.
Построим КЗЛП.
1. Чтобы получить ограничения-равенства введем новые неотрицательные переменные
y1>0,y2>0,которые называются слабыми переменными. Добавляя эти переменные к первому и второму ограничению с соответствующими знаками, получим ограничения равенства
a 11 *x1 + a12*x2+y1=b1,
a 21 *x1 + a22*x2-y2=b2,
x2|>0, x2||>0, и x2= x2| - x2||
и подставим это выражение во все
ограничения и в целевую функцию.
L2= -c1 * x1 - c2 *x2| +c2*x2
|| max, a 11 *x1 + a12*x2 | +
a12*x2||+y1=b1, (II) a 21 *x1 + a22*x2| +a22*x2||-y2=b2, a 31 *x1 + a32*x2|-a32*x2||=b3, x1>0, x2|>0, x2||>0,
y1>0, y2>0. Докажем , что задачи (I) и (II) эквивалентны. Пусть
Рассмотрим вектор
Очевидно, что вектор z удовлетворяет
ограничениям задачи (II), т.е. 
Обратно, пусть
Тогда рассмотрим вектор
Оптимальность допустимого вектора из одной задачи следует из связи целевых функций на соответствующих допустимых векторах :
Таким образом доказано, что задачи (I) и (II) эквивалентны.
Теорема доказана.
Для всякой задачи ЛП существует эквивалентная ей стандартная задача ЛП.
Доказательство.
Рассмотрим общую задачу ЛП от двух переменных (это не ограничивает общности)
Вводя новые переменные
построим стандартную задачу ЛП. Для этого изменим знак целевой функции и все ограничения приведем к виду
.
Ограничение равенство при этом на два ограничения вида
затем во втором ограничении меняется знак.
Эквивалентность задач (I) и (II) доказывается также, как и в теореме эквивалентности 1.
Теорема доказана.
Привести к канонической форме задачу
В данной задаче нарушены все три признака канонической формы.
1. Начнем с преобразования смешанной системы ограничений в систему уравнений. Для этого введем в первое и второе ограничения неотрицательные переменные
которые называются дополнительными или слабыми. В результате система ограничений запишется в следующем виде:
2. Условия неотрицательности не выполняется только для перемен-
ной 
Для
приведения задачи к однородным условиям
неотрицательности можно воспользоваться двумя
приемами.
Первый прием. Представим переменную 
в виде разности
двух
неотрицательных:
После преобразования системы ограничений и целевой функции получим задачу
Второй прием. Найдем из какого-либо уравнения
переменную .
Пусть из первого уравнения
Подставим это выражение во все уравнения и в
целевую функцию, исключив таким образом
переменную
из задачи. Получим
3. Переход к задаче минимизации линейной функции L осуществляется путем введения новой функции L? из равенства
Рассмотрим ряд определений, связанных с геометрической интерпретацией задач ЛП.
1. Прямая линия - линейное
равенство в 
.
2. Полуплоскость - линейное
неравенство в .
3. Плоскость - линейное
равенство в 
.
4. Гиперплоскость - линейное
равенство в 
(n>3).
5. Полупространство -
линейное неравенство в 
Множество 
называется выпуклым, если любые
две точки из М принадлежат этому множеству
вместе с соединяющим их отрезком.
a) Выпуклое множество b) Невыпуклое множество
Аналитическое определение выпуклого множества
следующее.
произвольные точки из множества М.
принадлежит
множеству М.
Доказательства следующих утверждений о выпуклых множествах провести самостоятельно.
1. - выпуклое множество.
2. Гипероплоскость - выпуклое множество.
3. Полупространство - выпуклое множество.
4. Пересечение выпуклых множеств - выпуклое множество.
Из сформулированных утверждений вытекает следующий очень важный для ЛП вывод.
Пересечение конечного числа полупространств и гипероплоскостей является выпуклым множеством.
Следовательно, область определения задачи ЛП, определяемая произвольной системой линейных уравнений и неравенств, является выпуклым множеством.
Если область определения задачи ЛП - ограничена, то это ограниченное выпуклое множество называется выпуклым многогранником.
Вершины многогранного множества называются крайними точками.
Геометрическая интерпретация задач ЛП на плоскости
Приведем геометрическую интерпретацию задачи ЛП для случая, когда число переменных равно двум. Пусть задача ЛП имеет вид
Каждое i -е неравенство определяет на координатной плоскости
полуплоскость, лежащую по одну сторону от прямой:
Для того, чтобы определить расположение соответствующей полуплоскости относительно граничной прямой (7), подставим в левую часть неравенства координаты какой-либо точки (в качестве неё проще взять начало координат), не лежащей на этой прямой. Если при такой подстановке получится верное неравенство, то область решений рассматриваемого неравенства включает подставляемую точку. Если неравенство неверное, то отмечаем штриховкой ту сторону от прямой, где нет подставляемой точки.
Таким образом строится m прямых. Каждая из них определяет
"допустимую" полуплоскость, где может лежать решение (рис. 1).
Заметим, что неравенства 
включены в ограничения (6) и эти
неравенства определяют первый координатный угол
плоскости
Часть плоскости
принадлежащая одновременно всем полуплоскостям, определяет допустимую область M решения задачи ЛП.
При построении допустимой области возможны три различных ситуации.
1. Допустимая область М определяется ограниченным множеством - выпуклым многогранником. Эта ситуация приведена на рис 1.
2. Допустимая область М определяется неограниченным выпуклым множеством (рис 1').
Может оказаться, что область допустимых решений не существует
(пустая), а значит система неравенств (6) несовместная. Такой случай
показан на рис. 2, где нет области, лежащей одновременно по "нужную"
сторону от всех прямых. Значит, и задача ЛП не имеет решения (нет
допустимых решений, значит, не из чего выбирать оптимальные решения).
Дадим теперь геометрическую интерпретацию условию (5). Положим
сначала L = 0, т. е.
прямую с таким уравнением. Очевидно, что эта прямая проходит
через начало координат (рис. 3).
Если придавать L произвольные значения
то прямая
будет перемещаться параллельно самой себе и при перемещении в одну сторону значение L будет возрастать, в другую - убывать.
и в направлении этого вектора значение L возрастает. Отметим это
направление и будем вдоль него перемещать прямую L до тех пор,
пока она будет сохранять общие точки с областью допустимых решений М . Могут возникнуть четыре варианта.
1. Прямая L имеет с допустимой областью L одну общую точку в вершине области (в крайней точке допустимой области в указанном направлении). На рис. 3 это точка x* , являющаяся единственным оптимальным решением задачи ЛП.
2.. Прямая L совпадает с одним из ребер ограниченной допустимой области (рис. 4). В этом случае оптимальные решения задачи ЛП соответствуют всем точкам отрезка, соединяющего две вершины области x? *и x? ? * :
3. Прямая L совпадает с одним из лучей неограниченной допустимой области (рис. 5). В этом случае среди множества оптимальных
решений только одно совпадает с вершиной области x? * . Тогда на
"оптимальной" граничной прямой находим еще одно оптимальное решение x? ? * и общее оптимальное решение представляют в виде
4. В допустимой области функция L не ограничена. В этом
случае задача ЛП не имеет решения. Пример такого случая показан на
рис. 6.
1. Графически могут решаться:
а) задачи, заданные в произвольной форме, содержащие не более
двух переменных;
б) задачи, заданные в канонической форме с числом свободных
переменных 
в) задачи в произвольной форме записи, которые после приведения к канонической форме будут содержать не более двух свободных
переменных.
2. Основной формой для графического решения является 1-й тип
задач. Поэтому, если встречается 2-й или 3-й тип задач, то предварительно их модель должна быть приведена к 1-му типу, а именнно :
к задаче на плоскости относительно свободных переменных.
3. Решение задачи 1-го типа выполняется в два этапа.
Этап 1 -построение области допустимых решений.
Этап 2 - нахождение в допустимой области оптимального решения.
4. При построении области допустимых решений может встретиться
один из следующих трех случаев:
а) пустая область;
б) выпуклый многоугольник;
в) неограниченная выпуклая многоугольная область.
В случае а) задача не имеет решения из-за несовместимости системы ограничений в области допустимых решений.
В случае б) задача всегда имеет оптимальное решение.
В случае в) в зависимости от направления вектора В (вектор
коэффициентов целевой функции L ) задача может иметь или не иметь
решение. Последнее связано с неограниченностью функции L в области допустимых решений.
5. Если оптимальное решение существует, то возможен один из
трех исходов:
а) оптимальное решение единственное и совпадает с одной из
вершин области;
б) оптимальные решения соответствуют всем точкам отрезка, соединяющего две вершины области;
в) оптимальные решения соответствуют всем точкам допустимого
луча, исходящего из вершины области.
Все возможные ситуации, возникающие при решении задачи ЛП, можно изобразить в виде следующей схемы
Решить графически задачу ЛП, заданную в канонической форме:
Число уравнений задачи m = 3, число неизвестных n = 5 . Тогда
n - m = 2 и задача может быть сведена к задаче на плоскости относительно свободных переменных.
Возьмем в качестве базисных переменные
и выразим их через свободные (небазисные) переменные:
По условию (10) переменные могут принимать только неотрицательные значения, т.е. допустимой областью задачи ЛП (8)-(10) будет область, определяемая условиями (10)-(11),или
Чтобы получить задачу ЛП относительно свободных переменных
в целевую функцию (8).В результате получим
Задача (12), (13) эквивалентна задаче (8)-(10), поэтому решая графически задачу (12), (13), получим решение задачи (8)-(10).
Этап 1. Построение допустимой области.
Каждое из неравенств (12) определяет некоторую полуплоскость
Подставляя значения
в это неравенство, получим 0> - 2, значит, координаты (0,0) удовлетворяют первому неравенству (12) и область решений этого неравенства включает начало координат. Аналогично определяют полуплоскости остальных неравенств (12).
На рис. 7 прямые, соответствующие условию
Получим допустимую область M - выпуклый пятиугольник ОАBСД.
Этап 2. В допустимой области М находим оптимальное решение.
Строим прямую
и определяем направление возрастания функции
Перемещая прямую L параллельно самой себе в направлении вектора C
до тех пор, пока она будет сохранять общие точки с областью допустимых решений, найдем, что в крайнем возможном положении прямая L пройдет через точку В = x* . Этому положению прямой L соответствует значение L* (положение прямой L= L* показано пунктиром).
Для нахождения координат точки x* необходимо совместно решать
систему уравнений граничных прямых (4),(5), на которых лежит точка
x* :
В результате получим искомое оптимальное решение x*=(4,1) .
Подставляя значения 
в целевую функцию и в
равенства (11), получим оптимальное значение целевой функции
L =4 - 1= 3 и оптимальное решение
Еще несколько примеров.
1. Допустимое и оптимальное решение существует
2. Пустая допустимая область
3. Неограниченная допустимая область
а) Оптимальное решение существует и единственное
b) целевая функция неограничена на допустимой области
Теорема о достижимости оптимума задачи ЛП в крайней точке.
Если задача ЛП разрешима, то оптимальное решение х* достигается хотя бы в одной крайней точке многогранного множества ограничений.
Доказательство.
Рассмотрим задачу ЛП на минимум (для задачи на максимум доказательство аналогичное).
Пусть целевая функция имеет вид
Cреди коэффициентов
есть отличные от нуля, иначе задача ЛП не имеет
смысла. Тогда вектор градиента целевой функции
отличен от нуля. Кроме того, 
Следовательно, минимум функции L внутри допустимой области не достигается, а значит, может достигаться только на границе допустимой области.
Поэтому х* является граничной точкой. Предположим , что х* не является крайней точкой, а лежит на отрезке, соединяющем крайние точки
Тогда
Умножая скалярно обе части неравенства на вектор с получим равенство
Так как х* - точка минимума, то выполняются неравенства
подставляя в эти неравенства значения 
,
получим
Следовательно, крайние точки 
вместе с произвольной точкой отрезка х* являются
точками минимума.
Теорема доказана.
Теорема о достижении оптимума задачи ЛП в крайней точке лежит в основе методов решения задач ЛП. Идея этих методов состоит в следующем.
1. Находим произвольную крайнюю точку.
2. Определяем, является ли крайняя точка оптимальной точкой.
3. Если точка не оптимальная, то переходим в соседнюю крайнюю точку, где значение целевой функции ”лучше” (больше или меньше в зависимости от того, максимизируется или минимизируется целевая функция), чем в предыдущей крайней точке.
4. Перебрав в худшем случае все крайние точки, найдем оптимальную точку.